麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组（英文：Maxwell's equations）是19世纪由英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）建立的一组偏微分方程，用于描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。它由四个方程组成：描述电场如何随着电荷分布而变化的高斯定律、描述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述磁场如何随时间变化而产生电场的法拉第感应定律以及描述电流和变化的电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。

麦克斯韦（Maxwell）诞生前的半个多世纪，人类对电磁现象的认识取得了一系列重大进展。1785年，法国物理学家库仑（Charles A. Coulomb）在扭秤实验结果的基础上，建立了说明两个点电荷之间相互作用力的库仑定律；1800年，亚历山德罗·伏特（Alessandro Volta）发明了电池，这使得实验科学家们可以开始利用连续的直流电展开研究；约X之后，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Christian Ørsted）掌握了电磁之间关联的X证据，他发现在靠近通电导线时罗盘的指针会发生偏转，厘米-克-秒单位制磁感应强度单位（ oersted ）的命名就是为了X他对电磁学领域的贡献；1825年，安培（Andre Marie Ampère）研究了电流之间的相互作用力，提出了安培定律；法拉第（Faraday）在1831年发表的电磁感应定律，是电机、变压器等设备的重要理论基础，后来被推广成为麦克斯韦-法拉第方程（Maxwell–Faraday equation）；1834年，楞次（Lenz）解决了感应方向问题。然而，这些实验结果和规则并没有很好地统一起来。

电磁学统一理论是由麦克斯韦（Maxwell）在19世纪50年代至19世纪70年代期间发表的一系列论文中完成的。19世纪50年代，麦克斯韦在剑桥大学工作，法拉第（Faraday）的力线概念给他留下深刻印象;1856年，他发表了他的X篇关于电磁学的论文： 他试图用不可压缩的流体流动的类比来模拟磁力线。后来，麦克斯韦搬到了伦敦国王学院，在那里他与法拉第（Faraday）经常交流，并成为终身的朋友；1861-1862年，麦克斯韦（Maxwell）以《论物理力线》为题发表了一系列的4篇论文。在这些论文中，他使用机械模型，如旋转的涡流管，来模拟电磁场。他还将真空建模为一种绝缘X介质，以说明法拉第给出的磁力线的应力;这些工作已经为麦克斯韦方程的制定奠定了基础。麦克斯韦方程的最终形式发表于1865年的《电磁场的动力学理论》，其中以严格的数学形式表述了该理论。

1873年，麦克斯韦出版了《电与磁论》，作为他对电磁学工作的总结。后来，奥利弗-海维塞德（Oliver Heaviside）研究了麦克斯韦的《电与磁论》，并使用矢量微积分将麦克斯韦的20多个方程式合成为现代物理学家使用的4个可识别的方程式，麦克斯韦方程还启发了爱因斯坦发展狭义相对论。麦克斯韦方程的实验证明是由海因里希-赫兹在19世纪90年代的一系列实验中证明的，此后麦克斯韦方程被科学家完全接受。在麦克斯韦之前，关于电磁现象的学说都以超距作用观念为基础，认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用，都是可以超越中间媒质而直接进行并立即完成的，即认为电磁扰动的传播速度无限大；麦克斯韦认为光的传播需要波的介质，称为以太。1905～1915年间，爱因斯坦（Albert Einstein）的相对论进一步论证了时间、空间、质量、能量和运动之间的关系，说明电磁场就是物质的一种形式。

高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线始于正电荷，终于负电荷。从估算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷；该定律描述了穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷数量之间的关系。

从正电荷到负电荷的电场

高斯磁定律表明，磁单极子（磁荷）并不存在于宇宙。在实验方面，物理学者迄今仍尚未发现磁单极子存在的明确证据。由物质产生的磁场是被一种称为偶极子的位形所生成。磁偶极子最好是用电流回路来表示。磁偶极子好似不可分割地被束缚在一起的正磁荷和负磁荷，其净磁荷为零。磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远；换而言之，进入任何区域的磁场线，也从该区域离开。

高斯磁性定律：磁力线永远不会开始或结束，而是形成环路或延伸到无穷大，如图所示，磁场是由于电流环

法拉第感应定律描述时变磁场怎样感应出电场。法拉第定律指出，电动势由磁通量的变化率给出。

在地磁风暴中，带电粒子通量的激增会暂时改变地球磁场，从而在地球大气中感应电场

磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（最初的安培定律）产生，另一种是靠随时间变化的电场（麦克斯韦修正项描述的方法）产生，麦克斯韦称之为位移电流；同时，时变磁场又可以生成电场；这样，如果时变电场恰好产生变化磁场，则根据这两个方程，这种相互产生的电场和磁场（即电磁波）将可以持续在空间里传播。麦克斯韦对安培定律的补充很重要，因为必须针对静态场修正安培和高斯定律。从电荷和电流的实验中可以预测出电磁波的速度与光速相匹配；事实上，光是电磁辐射的一种形式，麦克斯韦在1861年理解了电磁波和光之间的联系，从而统一了电磁学和光学理论。

从狭义上讲，麦克斯韦方程组是这些定律的数学描述。与这些定律直接类似，它们可以用四个耦合微分方程来描述，但也有其他等效的公式。这里给出麦克斯韦方程组的两种等价表述：微观表述与宏观表述。

微观表述专门计算在真空中原子尺度的有限源电荷与有限源电流所产生的电场与磁场。物质可以视为由点电子与点原子核所组成，而内部其它大部分空间都是真空。但是，由于电子与原子核的数量很大，实际上，无法一一纳入计算。事实上，经典电磁学也不需要特别精确的答案。使用微观麦克斯韦方程组有两个主要目的，一是推导出宏观麦克斯韦方程组，二是从原子性质估算出宏观物质参数，例如电容率、磁导率等等。微观表述可以给出很多宏观表述所无法给出的极具价值的信息。

宏观表述不将物质内部的原子结构纳入考量，而是将物质视为一种连续性介质，其性质决定于电容率、磁导率等等宏观物质参数。从做实验可以获得宏观物质参数与物质的本质、密度、温度等等的关系。宏观麦克斯韦方程组可以用来预测带电粒子、电场与磁场的平均性质。采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易。

采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同的常数会出现在方程内部不同位置。国际单位制（SI）是最常使用的单位制。除非特别指出，本文所有方程式都采用国际单位制，此处给出其微分形式和积分形式。

以下表格给出方程组每一个符号所代表的物理意义，和其单位：

符号	物理意义	国际单位
	电场	伏特／米、牛顿／库仑
	磁场	特斯拉、韦伯／米、伏特·秒／米
	电位移	库仑／米、牛顿／伏特·米
	H场	安培／米
	三维梯度算子	-
	散度算符	／米
	旋度算符
	对于时间的偏导数	／秒
	微小面元素向量	米
	微小线元素向量	米
	介电常数	法拉／米
	磁导率	亨利／米、牛顿／安培
	X电荷密度	库仑／米
	总电荷密度	库仑／米
	在闭曲面 里面的X电荷	库仑
	在闭曲面 里面的束缚电荷	-
	在闭曲面 里面的总电荷	库仑
	X电流密度	安培／米
	总电流密度	安培／米
	穿过闭路径 所包围的曲面的X电流	安培
	穿过闭路径 所包围的曲面的总电流	安培

其中，

,

是介质的电导率

这种形式的麦克斯韦方程组可以用来推导出宏观麦克斯韦方程组，也可以用来找出原子性质与宏观性质两者之间的关联。

名称	积分形式	微分形式
高斯定律
高斯磁定律
法拉第电磁感应定律
安培环路定律（加上麦克斯韦定律）

也可以使用

在存在物质的情况下，微观麦克斯韦方程很笨重，因为必须考虑介质每个原子中的每个电荷载流子。另一方面，如果不引入额外的量子力学，磁特性（如永磁体的磁特性）不能直接从微观麦克斯韦方程导出。

宏观麦克斯韦方程以特定参数的形式考虑物质的性质，其中真空由介电常数

和磁导率

所界定。麦克斯韦本人并不是从一个空的空间开始的，而是以当时流行的学说-从充满所谓“以太”的空间开始。“宏观”一词源于这样一个事实：物质的属性最终表征了物质的局部平均属性。关于电荷，区分X载流子（例如电导体中的传导电子）和束缚载流子（例如壳层电子），并且假设束缚载流子通过微观导致宏观极化。

物质的存在要求电场和磁场分别由两个附加矢量场

,

来描述。

名称	积分形式	微分形式
高斯定律
安培环路定律（加上麦克斯韦定律）
高斯磁定律
法拉第感应定律

连续性方程为在宏观方程中，束缚电荷

和束缚电流

的影响包含在位移场 D 和磁化场 H 中，而方程只取决于X电荷

和X电流

。这反映了总电荷 Q 和电流 I（以及它们的密度 ρ 和 J）分为X部分和束缚部分：

这种拆分的代价是，需要通过将这些场与电场 E 和磁场 B 以及束缚电荷和电流相关联的现象学组成方程来确定附加场 D 和 H。

高斯定理（Gauss divergence theorem）和斯托克斯定理（Kelvin–Stokes theorem）可以用来推导微分和积分公式之间的等价转换。具体来说，高斯定理和斯托克斯定理可以用来将微分形式转换为积分形式，或者将积分形式转换为微分形式。

高斯定理和斯托克斯定理是微分形式和积分形式之间的等价转换的两个重要定理。高斯定理是用来将空间中的向量场的散度（d转换为该向量场在某个闭合曲面上的积分（即面积分），而斯托克斯定理则是用来将空间中的向量场的旋度（转换为该向量场在某个闭合曲线上的积分（即线积分）。

斯托克斯公式:

高斯散度定理:积分到微分具体推导过程：

根据高斯散度定理，微观麦克斯韦方程可以重写为：

因此，高斯定律的积分形式可以重写为：

由于Ω是任意的，因此当且仅当被积函数处处为零时满足此要求，同理，将高斯磁定律改写为积分形式：

由于Ω是任意的，因此当且仅当被积函数处处为零时满足此要求，微分到积分具体推导过程：

根据斯托克斯定理，可以将封闭边界曲线Σ周围的场的线积分重写为“场循环”的积分，即：

因此积分形式的麦克斯韦-安培定律可以重写为：

被积为零，当且仅当在微分方程形式的安培修正定律是满意的。法拉第定律在微分形式和积分形式中的等价性也是如此。

线积分和旋度的物理意义可类比经典流体动力学中的量：流体的环量是流体绕闭合回路的流动速度场的线积分，流体的涡度是速度场的旋度。

电荷的不变性可以作为麦克斯韦方程的一个推论导出。修改后的安培定律的方程左边具有由散度旋度恒等式得到的零散度。扩展右侧的散度，互换导数，并应用高斯定律，得到：

根据高斯散度定理，这意味着固定体积中电荷的变化率等于流过边界的净电流：

即，在孤立系统中，总电荷守恒。

在经典电磁学里，微观尺度指的是系统尺寸的数量级大于10米的尺度范围。微观尺度下电子和原子核可以视为点电荷，微观麦克斯韦方程组成立；否则，必需将原子核内部的电荷分布纳入考量。在微观尺度计算出来的电场与磁场仍旧变化相当剧烈，空间变化的距离数量级小于10米，时间变化的周期数量级在10至10秒之间。因此，微观麦克斯韦方程组，必需经过经典平均运算，才能得到平滑、连续、缓慢变化的宏观电场与宏观磁场。宏观尺度的最低极限为10米。这意味着电磁波的反射与折射行为可以用宏观麦克斯韦方程组来描述。极限情况下为边长为10米，体积为10立方米的立方体大约含有10个原子核和电子。这么多原子核和电子的物理行为，经过经典平均运算，足以平缓任何剧烈的涨落。根据文献记载，经典平均运算只需要在空间作平均运算，不需要在时间作平均运算，也不需要考虑到原子的量子效应。

经典平均运算是一种比较简单的平均程序，给定函数

，该函数的空间平均定义为:

其中，

是平均运算的空间，

是权重函数。

很多函数都可以作为权重函数，如高斯函数：

最早出现的麦克斯韦方程和其相关理论是为宏观设计的，是一种现象学；后来，随着物质的粒子模型发展，才推导出微观麦克斯韦方程。二十世纪前半期，狄拉克的电子理论与麦克斯韦的光理论相结合，从而创造出一种遵守量子力学和狭义相对论的光和电子理论，成为建立量子电动力学的关键基石。在量子电动力学的基础上，人们又先后建立了电弱相互作用理论和描写强相互作用的量子色动力学（QCD），这就是今天的标准模型理论。

在X空间里，不需要考虑到介电质或磁化物质。没有电荷（ρ = 0）和没有电流（J = 0）时，麦克斯韦方程组写为：

取旋度方程的旋度（

），并使用旋度恒等式的旋度，得到

定义

，可以得到电场与磁场的波动方程：

对于这两个波动方程，其电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于行进的方向，并且彼此同相。正弦平面波是这些方程的一个特解，因此是个横波。电场与磁场同相位地以光速c传播：

电磁波是横波，电场方向与磁场方向相互垂直，又都垂直于传播方向

麦克斯韦方程解释了这些波如X空间中物理传播。变化的磁场通过法拉第定律产生变化的电场。反过来，该电场通过麦克斯韦对安培定律的加法产生变化的磁场。这种永恒的循环使得这些波，现在被称为电磁辐射，以速度c在空间中移动。

当电场施加到电介质材料上时，其分子通过形成微观电偶极子来响应-原子核沿着场的方向移动一小段距离，而电子沿着相反的方向移动一小段距离，就形成了介电质的电极化。虽然，所有涉及的电荷都仍旧束缚于其原本的分子，由于这些微小迁移所造成的电荷分布，变得好像是在介电质的一边形成了一薄层正表面电荷，在另一边又形成了一薄层负表面电荷。电极化强度P定义为介电质内部的的电偶极矩密度，也就是单位体积的电偶极矩。在介电质内部，假设P是均匀的，则宏观的面束缚电荷只会出现于介电质表面，即进入或离开介电质之处；否则，假设P是不均匀的，则介电质内部也会出现束缚电荷。

微观电偶极子

有些类似的是，假设施加外磁场于物质，物质会被磁化，原子成分会显示出磁矩。而组成原子的磁矩与各个亚原子粒子的的角动量有内在的联系，其中响应最明显的就是电子。磁矩与角动量的联系表明磁化物质可能变成了一X微观的束缚电流回路。虽然每一个电荷只是移动于其原子的微观回路，一X微观的束缚电流回路聚集在一起会形成宏观的束缚电流循环流动于物质的表面。这些束缚电流可以用磁化强度M来描述。

这些非常复杂与粗糙的束缚电荷与束缚电流的物理行为，在宏观尺度，可以分别以电极化强度P与磁化强度M来表达。电极化强度与磁化强度分别将这些束缚电荷与束缚电流以恰当的尺度做空间平均，这样，可以除去单独整体原子形成的复杂结构，又能够显示出强度随着位置而变化的物理性质。由于所有涉及的向量场都已做过恰当体积的空间平均，宏观麦克斯韦方程组忽略了微观尺度的许多细节。

为了要应用宏观麦克斯韦方程组，必须分别找到

场与

场之间、

场与

场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质，设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。

本构关系式的基础建立于附属场

与

的定义式：

其中，

是电极化强度，

是磁化强度。

电极化强度与磁化强度都是源自于物质对于外电场与外磁场的响应。电极化强度是电场的函数，磁化强度是磁场的函数。因此，本构关系式的一般形式为

、

在这里，使用方括号，而不是圆括号，这样标记主要是在提醒函数与参数彼此之间的关系并不简单，很可能相当复杂，可能与过去历史有关，也可能是非线性相关。大多数实际物质的本构关系式的获得都需要使用近似手段，通常是从做实验找到结果。

在X空间（即理想真空）里，不需考虑介电质和磁化物质，本构关系式变得很简单：

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组，则得到的方程组很像微观麦克斯韦方程组，当然，在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内，总电荷密度和总电流密度分别被X电荷密度和X电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在X空间里，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。

更一般而言，对于线性物质，本构关系式为：

、

；

其中，

是物质的电容率，

是物质的磁导率。

麦克斯韦方程组也可以在类似时空的闵可夫斯基空间上表述，在闵可夫斯基空间中，空间和时间被平等对待。直接的时空表述表明麦克斯韦方程组是相对论不变的。由于这种对称性，电场和磁场被同等对待，并被认为是法拉第张量的分量。这将四个麦克斯韦方程减少到两个，简化了方程，尽管我们不能再使用熟悉的矢量公式。事实上，在空间+时间公式中的麦克斯韦方程组不是伽利略不变的，并且具有洛伦兹不变性作为隐藏的对称性。这是相对论发展的主要灵感来源。狭义相对论能以协变张量来表达麦克斯韦方程组。

X空间的麦克斯韦方程组的形式，对于任意惯性坐标系，都是一样的。在狭义相对论里，为了要更明确地表达出这论点，必须以四维向量和张量写出协变形式的麦克斯韦方程组。这表述的一个构成要素为电磁张量，其是结合了电场和磁场在一起的二阶反对称张量。电磁张量

表示为：

使用闵可夫斯基度规

，

将下标拉高为上标，可以得到反变张量

：

的二阶对偶张量又有四维电流密度：

其中，

是电荷密度，

是电流密度。

采用爱因斯坦求和约定，麦克斯韦方程组可以写为

其中，

是四维梯度。

这两个张量方程等价于麦克斯韦方程组。X个张量方程等价高斯定律和麦克斯韦-安培定律，第二个张量方程等价高斯磁定律和法拉第感应定律。

物质和能量会造成时空弯曲。这是广义相对论的主题。时空弯曲会影响电动力学的物理。一个电磁场所拥有的能量和动量也会造成时空弯曲。将平直时空的方程组中的偏导数改换为协变导数，就可以得到弯曲时空中的麦克斯韦方程组：

其中，

是二阶电磁张量。

而二阶张量的协变导数为：

其中，

是表现时空弯曲的克里斯托费尔符号。

所以，麦克斯韦方程组又可以表示为

麦克斯韦方程组和洛仑兹力定律（以及经典电磁学的其他部分）在解释和预测各种现象方面非常成功。然而，它们没有考虑量子效应，因此它们的适用性领域是有限的。麦克斯韦方程组被认为是量子电动力学（QED）的经典极限。一些观测到的电磁现象与麦克斯韦方程组不相容。这些包括光子-光子散射和许多其他与光子或虚拟光子有关的现象，“非经典光”和电磁场的量子纠缠（见量子光学）。例如，量子密码学不能用麦克斯韦理论来描述，甚至不能近似地描述。麦克斯韦方程组的近似性质在进入极强场态（参见欧拉-海森堡拉格朗日量）或极小距离时变得越来越明显。麦克斯韦方程组无法解释任何涉及单个光子与量子物质相互作用的现象，例如光电效应、普朗克定律、杜安-亨特定律和单光子光探测器。然而，许多这样的现象可以使用量子物质耦合到经典电磁场的中途理论来近似，无论是作为外部场还是麦克斯韦方程组右侧的电荷电流和密度的期望值。

20X1月13日，中国科学院北京纳米能源与系统研究所（以下简称“中科院纳米能源所”）在京举办重大科学成果发布会。会上，拓展型麦克斯韦方程组科学成果发布，王中林院士对麦克斯韦方程组进行了成功拓展，相关成果发表在近期的国际学术期刊Materials Today。将麦克斯韦方程组基于静态电磁场理论推广到运动介质，成功拓展了麦克斯韦方程组的运用范围，奠定了运动介质电动力学的理论基础。

麦克斯韦方程组存在一个长期被忽视的局限性。该方程组的成立是有条件的，从数学角度看，由积分形式方程组推导出微分形式方程组的基本假设是方程中的时间微分和曲面积分可以互换，事实上，方程的成立是假设X中介质的形状、分布、体积和表面都不随时间变化，即处于静止状态。然而，这种静态介质的假设在电动力学教科书中一般没有注明，因此不会关注微分形式麦克斯韦方程组的具体成立条件。相反，在很多领域直接用积分形式方程组建立各种理论模型。如果介质是运动的，它的分布随时间变化而变化，例如高速运动的飞机，运行的火车等，此时方程不能严格成立。王中林院士首先意识到这个问题，为了推导出在有运动介质情况下的麦克斯韦方程组，他建立了拓展型的麦克斯韦方程组：

2017年，他又首次拓展了位移电流的表达式，在电位移矢量D'中引入Ps项，用来推导纳米发电机的输出功率，拓展了它们在能源领域的应用。

适用于静态介质的麦克斯韦方程组、适用于运动介质的拓展型麦克斯韦方程组的比较

2019年，王中林推导出了纳米发电机的输运方程，Ps项的解析表达式，以及不同负载下纳米发电机的输出功率和空间电磁场分布及其辐射的通用表达式。同时给出摩擦纳米发电机四种模式的解析。

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。

经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。这两条是发现电磁波方程的基础。从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到：X，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理X的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对 象的"存在"。由此，第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实，，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。

麦克斯维方程组可应用于高速运动目标的探测方面，比如运动中的高铁、高速飞行的飞机等等，可以解决高速运动目标与电磁波相互作用、散射电磁波探测和目标特征精确提取等难题。同时，在雷达、天线、航空、航天等需要无线通信的领域具有巨大的潜在应用前景。

运动中的高铁

高速飞行的飞机

展开[a]

微分形式是用微分算子将函数微分后得到的表达式，而积分形式则是用积分符号将函数积分后得到的表达式。微分形式和积分形式之间的等价转换可以用来简化数学计算

[b]

“真空”时常用来指称X空间。但是，在这里，X空间指的是一种理想的，实际不可能体现的参考状态(以太），迥然不同于任何可以实际体现的真空，像实验室内制造的超高真空或外太空，或任何从理论方面体现的真空，像量子真空或量子色动力真空。

[c]

国际标准化组织建议使用c0为X空间光速的国际单位

[d]

磁化强度定义为磁偶极矩在一个磁化物质内的密度，也就是单位体积的磁偶极矩

展开[1]全国科学技术名词审定委员会. 《物理学名词》
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