傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier transform），简称傅氏变换，是将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。傅里叶变换的定义分为狭义和广义两种，狭义的傅里叶变换满足狄利克雷条件，具有一维、二维等多种形式。

在数学上，狭义傅里叶变换是指满足狄利克雷条件的函数的傅里叶变换，这也是傅里叶变换存在的条件。

函数

满足狄利克雷条件，即分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个X类间断点，并且在

区间X可积，则

和

的积分变换成立。

称为

的傅里叶变换，

则称为

的傅里叶逆变换，它们常采用的运算符号表示为

、

。

• 直角坐标系中的二维傅里叶变换

设

是定义在

平面的空间函数，它的傅里叶变换存在，并用空间频率平面的二维函数

表示，于是有

。

称为

的空间频谱，通过对

的二维傅里叶逆变换可恢复原函数

，

。

• 极坐标系中的二维傅里叶变换

利用直角坐标与极坐标的坐标变换公式，可直接从直角坐标系中的二维傅里叶变换导出极坐标系中二维傅里叶变换的公式。设

平面的极坐标为

，频率平面

的极坐标为

，坐标变换公式为

，直角坐标系的变换公式中，令

，

，于是极标系中二维傅里叶变换和傅里叶逆变换可表示为

，

。

设

是一个不存在狭义傅里叶变换的函数，而

是一个存在狭义傅里叶变换的普通序列函数，即有

（

为整数）。如果

可以表示为

的极限，即

，并且当

时，

的极限存在，于是可将

的广义傅里叶变换定义为

。

一个以

为周期的函数

，若在

上满足狄利克雷条件，则

在

上可以展开成傅里叶级数为

。其中，

，

，

，

。

设

是定义在

上的非周期函数，将

看作是周期为

的周期函数

当

时的极限形式，则由式

和式

有

，又

可变为

，由积分的定义，有

，式子右端的积分式

称为

的傅里叶积分。

17世纪和18世纪，在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Laibniz）等科学家的推动下，数学获得了快速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶（Jcan-Baptiste Fourier）在18X发表了题为《热的解析理论》的论文。在该论文中，傅里叶提出，以

为周期的周期函数

可展开成无限多个正弦函数和余弦函数的和，即

，该式子就是傅里叶级数，式中

，

。

18X后，傅里叶将傅里叶级数从以

为周期的周期函数推广到任意周期的周期函数，又从周期函数推广到非周期函数，并提出了傅里叶积分。傅里叶级数与傅里叶积分的提出，奠定了傅里叶变换的基础。傅里叶级数就是连续傅里叶级数变换的逆变换，傅里叶积分则是连续傅里叶变换的逆变换。拉普拉斯变换也是一种傅里叶变换。早在1782年，拉普拉斯（Laplace）就提出了拉普拉斯变换。

法国数学家傅里叶

傅里叶级数、傅里叶积分和拉普拉斯变换形成了早期傅里叶变换家族的三种变换。在19世纪的数学研究中产生了傅里叶变换，早期的傅里叶变换是数学分析的一个分支。傅里叶变换又是工程技术的理论基础，20世纪的信息科学以傅里叶变换为基石。随着电磁理论和技术的产生和发展，尤其是电子通信与电信号理论和技术的产生与发展，傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换在物理学等领域得到了广泛的应用。

在模拟信号传输和模拟信号处理的时代，傅里叶变换只是一种用于分析连续时间信号和系统的数学工具。为了实际地获得各种复杂信号中特定频率的分量，工程师们应用由电阻、电容、电感等模拟元器件为基础构成的模拟滤波器。通过不同频率的窄带滤波，得到由傅里叶变换所预计的信号中频率分量的幅度和相位。

这种用模拟滤波器给出傅里叶变换数值的方法不仅麻烦，而且由于窄频带信号是由多个频率分量组成的，因此所得到的数值很不准确。随着大规模集成电路和超大规模集成电路的发展以及计算机技术的进步，随着模拟信号变为数字信号，从20世纪60年X始，由计算机和各种数字硬件处理信号的理论和方法逐渐产生。在它们产生和发展的过程中，傅里叶变换家族出现了新的成员。这些新的成员是离散周期信号的离散傅里叶级数变换、离散时间信号的序列傅里叶变换、离散时间信号的

变换和典型有限序列的离散傅里叶变换。

设

与

为任意的两个函数，

和

为任意常数，则有

，即函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的相应线性组合。同样地，傅里叶逆变换也是线性变换。

傅里叶变换并不改变函数的奇偶性，通常把这个性质称为傅里叶变换的对称性。若函数

的像函数是

，则作为

的函数

的像函数为

，即

。

以两次连续傅里叶变换为例，则有

。这个性质表明，对函数

连续作两次傅里叶变换，即得其“镜像”。两次以上的情形当可类推。

设

，则

。这一性质表明，如果函数

的图像变窄，则其傅里叶变换

的图像将变宽变矮；如果

变宽，则

将变窄变高。

若

，

为实常数，则

。这个性质在无线电技术中也称为时移性，它表示时间函数

沿时间轴向右平移（也称延时）

后的傅里叶变换等于

的傅里叶变换乘以因子

。同理还可得

。

像函数的平移性：设

，

为常数，则

。

若

，且

，则

。这个性质说明一个函数的导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子

。

像函数的微分性：若

，则

。由这个性质可知，若已知

的傅里叶变换，则

的傅里叶变换也可求出。

若

的函数

满足傅里叶积分定理的条件，则

。

设

，则有

，

。

和

这两个积分分别表示

曲线和

曲线各自覆盖的面积。

• 卷积函数的概念

含参变量

的积分

是

的函数，称作函数

与

的卷积函数，简称卷积，记作

，即。

。

• 卷积定理

两个函数卷积的像函数，等于两个函数各自的像函数的乘积，即

。

• 频谱卷积定理

两个函数乘积的像函数，等于它们各自像函数（在实用上称为频谱函数）卷积的

倍，即

。

• 共轭复数的概念

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（当虚部不等于0时，也叫做互为共轭虚数）。复数

的共钜复数可以用

来表示，所以如果

，那么

，显然

，而且复平面内表示两个互为共轭复数的点

与

关于实轴对称。

• 巴什瓦定理与帕塞瓦尔定理

若函数

以及

平方可积，设

，

，则

（式中*表示共轭复数），该式称为巴什瓦（Parseval）定理。特别地，对于平方可积函数

，有

，该式称为帕塞瓦尔（Plancherel）定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间

上的一个运算符（若不考虑因子

）。

• 互相关定理

设

，

，则有

（式中*表示共轭复数）。习惯上，称乘积

为函数

与

的互能量谱密度。因此，互相关定理表明，两个函数的互相关函数与它们的互能量谱密度构成傅里叶变换对。

• 自相关定理

设

，则有

（式中*表示共轭复数）。习惯上，称

为函数

的能量谱密度。因此，自相关定理表明，一个函数的自相关函数与能量谱密度构成傅里叶变换对。

设

，求它的傅里叶变换

。根据公式

给出的矩形函数的定义，它的傅里叶变换为

。在物理光学中，习惯将

的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，由图可知，

的频带宽度

。

矩形函数及其频谱

设

，则

。

为复函数，它的振幅和相位分别为

，

。

负指数函数及其频谱

• 高斯函数的定义

高斯函数的形式为

，其中

为实数常数，且

。

• 高斯函数的傅里叶变换

设

，则

，式中最后一步应用了普哇松积分。这个例子表明，高斯函数具有自傅里叶变换的性质。

高斯函数及其频谱

不确定性原理或称为—带宽积定理，是对傅里叶变换的一种基本描述。给出时域信号

为

，相应的频域信号

为

，它们是一对傅里叶变换对。不确定性原理的本质就是：较窄的时间波形产生较宽的频谱，而较宽的时间波形产生较窄的频谱，时间波形的宽度和频谱宽度不可能同时任意小。

• 傅里叶余弦变换

设

为

上的偶函数，它的傅里叶变换

。积分

称为定义在

上的函数

的傅里叶余弦变换。它的逆变换

。

• 傅里叶正弦变换

设

为

上的奇函数，它的傅里叶变换

。积分

称为定义在

上的函数

的傅里叶正弦变换。它的逆变换为

。

当研究的定解问题非轴对称时（

），方程

在

单值且有限的定解条件下，所对应的本征值及本征函数为

，即是球谐函数的表达式。

为了应用的方便，可将

归一化常数得到归一化的球谐函数

。利用缔合勒让德函数的表达式，可得到相应的归一化的球谐函数：

；

；

；

；

；

。

如果一个函数的值是由物理测量得到的，若需要求出它的傅里叶变换，就有几种可能性发生。首先，物理数据的某些限制会响到结果，所以要先从数值变换方面入手。该数据是在自变量

的许多离散值上给出的。间隔

可能如此之小，以致不必关心中间值的内插，但不论在何种情况下，总可以认为对于周期小于

的傅里叶分量，其数据不可能含有它们的任何重要信息。因此，没有必要对高于

的频率进行计算。

此外，观测数据是在

的一个有限范围内给出的，如

。按照同样的论证，傅里叶变换不需要列出间隔比

更细密的数值表。如果在

中有任何需要间隔比

更精细的数值表才能刻画的重要细节，那么为了把它揭示出来，对于

的测量就必须扩展到

之外。

物理数据的另一个性质是含有误差。因此，傅里叶变换计算的值所能保证的精度是有限的。这种限制可用误差成分的功率频谱简明的表示出来（或者等效的用误差成分的自相关数）。有时，误差只有数值大小的改变，而它们的频谱不变；有时，误差的大小和频谱都不清楚。无论何时，误差都使得变换的计算值的小数部分的位数受到限制，而它们恰好具有重要的物理意义。

设

是用

处的值来表示的，其中整数

跑在

到

之间。一般地，在计算

的傅里叶变换之前，必须知道对于

在

的整个无穷范围内的信息。因此，只能求助于物理知识，并对测量范围之外的性质作某种假定。在这种况下，假定当

时

为零。那么其和

就是

的一个近似值。在实际上，可分别计算其实部和虚部，它们是由和式

和

构成。这一跑遍

项的和必须对每个选定的

值都求和。

一旦证明了某种性质，它使某个定理能够简单地应用。例如，考虑一个连续分段线性函数，如下图所示这个函数可以表示为一个三角窗函数和一系列冲激函数的卷积，可以把冲激函数的傅里叶变换和三角窗函数的傅里叶变换相乘，于是

。取梯形脉冲

，显然，

。

一个连续分段线性函数（上）可以看作一组冲激和一个三角窗函数（下）的卷积

微分定理有一个特殊应用，它被广泛地用于开关波形。考虑如图（1）所示的一个分段的线性函数，它的一阶导数如图（2）所示，包含一个冲激。由于冲激函数的变换是已知的，去掉这个冲激，再求一次微分如图（3）所示。这时只剩下一系列的冲激

。如果一阶导数包含一系列冲激

，而不是只有一个冲激，或者如果原来的函数

中包含冲激

，那么变换

为

。