代数基本定理

（代数学基本定理）任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算），代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。

由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。代数学基本定理说明，任何复系数一元 n次多项式方程在复数域上至少有一根(

)。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家 J.P. 塞尔 曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名着《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

该定理的X个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。

代数基本定理的X个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)，基本思想如下：

设

为n次实系数多项式，记

，考虑方根：

即

与这里

与

分别表示oxy坐标平面上的两条曲线

、

，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点

，从而得出

，即

，因此

便是方程

的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。

高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式

就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当

足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同z。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当

时，就有：

证明一

寻找一个中心为原点，半径为r的闭圆盘D，使得当

时，就有

。因此，

在D内的最小值（一定存在，因为D是紧致的），是在D的内部的某个点

取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理，

。也就是说，

是

的一个零点（根）。

证明二

由于在D之外，有

，因此在整个复平面上，

的最小值在

取得。如果

，那么

在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数z，都有

。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知

是常数，因此p是常数。于是得出矛盾，所以

。

证明三

这个证明用到了辐角原理。设R为足够大的正实数，使得

的每一个根的X值都小于R；这个数一定存在，因为n次多项式函数最多有n个根。对于每一个

，考虑以下的数：其中c(r)是中心为0，半径为r的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是p(z)在中心为0、半径为r的开圆盘内的零点的数目N，由于

，所以它也是p(z)的零点的总数目。另一方面，

沿着c(r)的积分除以

，等于n。但这两个数的差为：

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是

，而分母的次数是

。因此，当r趋于

时，以上的数趋于0。但这个数也等于

，因此有

。

证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个

次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。

设A为大小

的方块矩阵，并设In为相同大小的单位矩阵。假设A没有特征值。考虑预解函数

它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。A的特征值正好是R(z)的极点。根据假设，A没有特征值，因此函数R(z)是整函数，根据柯西积分定理可知：

另一方面，把R(z)展开为几何级数，可得：

这个公式在半径为

的闭圆盘的外部（A的算子范数）成立。设

。那么：

（仅当

时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此A一定有一个特征值。

设

为使|p(z)|在

取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把p(z)写成z

的多项式：存在某个自然数k和一些复数

，使得

，以及：

可推出如果a是

的一个k重根，且t是足够小的正数，那么

，这是不可能的，因为

是

在D内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设p(z)没有根。选择一个足够大的正数R，使得对于

，p(z)的X项z大于所有其它的项的和；也就是说，

。当z依逆时针方向绕过方程为

的圆一次时，p(z)，像z那样，依逆时针方向绕过零n次。在另外一个极端，

时，“曲线” p(z)仅仅是一个（非零的）点p(0)，它的卷绕数显然是0。如果z所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么p(z)的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为

，其中t大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量t视为时间，那么在时间为零时，曲线为p(z)，时间为1时，曲线为p(0)。显然在每一个点t，根据原先的假设p(z)都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是n，结束时是0，因此得出矛盾。所以，p(z)至少有一个根。

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数R在R上有实平方根，以及任何奇次多项式在R上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先

。经过简单的计算可以证明C在X方运算下是封闭的（利用事实1）。结合

。得出C不存在二阶扩张。

由于

，于是任何

的扩张都是可分的，从而任何C的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设

是一个伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦X

的西罗2-子XH。那么

是奇数。由本原元定理得出，K存在本原元

，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，于是不存在奇次的且次数>1的不可约多项式。于是

，

，

是2的幂次。

假设

并且

，再次利用西罗定理，G存在一个阶为2的子XN。这时

。这和C先前不存在二阶扩张矛盾。因此C的任何代数扩张都是本身，代数基本定理得证。