向量

向量（vector）又称矢量，在数学中也称为欧几里得向量、几何向量，是数学中最基本的概念之一，表示既有大小(用一个非负数表示)、又有方向的量。

向量最早可追溯到古希腊时期，在约公元前350年前，古希腊学者亚里士多德(Aristotle)在研究力学问题时发现两个力的合成可以用平行四边形法则得到。英国科学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）最先使用有向线段来表示向量，于1687年发表的著作《自然哲学的数学原理》中使用有向线段描述了力及其普遍运算规律。

1797年，丹麦数学家、测量学家卡斯帕尔·韦塞尔（Caspar Wessel）在向丹麦科学院递交的论文中首次建立了复平面概念，利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，把坐标平面上的点用向量表示出来，给出了复数的几何表示。

1844年，德国数学家赫尔曼·甘特·格拉斯曼(Hermann Günther Graßmann)出版了他的《线性扩张论》，把向量由二维、三维扩展到n维，融合坐标、向量于n维空间，X次明白地解释了n维向量空间的概念，发展了通用的向量运算，开拓了新的数学领域。

19世纪中期，英国数学家威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）发现了四元数(包括数量部分和向量部分)，证明了四元数有很多与复数类似的性质，认为四元数将在物理学中获得应用，引起了很多学者的关注。

英国数学物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在1873年出版的著作《电磁通论》中把四元数的数量部分和向量部分分开来作为各自的实体处理，把向量部分从四元数中独立出来的实体发展成为更符合物理学需要的更简便的数学工具，也就是三维向量，加速了向量分析研究的进程。

19世纪80年代初，由美国数学物理学家约西亚·威拉德·吉布斯(Josiah Willard Gibbs)和英国数学物理学家奥利弗·亥维赛(Oliver Heaviside)创立的三维向量代数和向量分析，他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数，他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，将向量分析和电磁场理论紧密联系在一起。

向量的引入揭开了新的数学前景，到20世纪30年代，向量理论的公理化使得向量理论逐渐成为数学的重要理论，其应用范围得到了极大的拓广。

向量可用符号

、

、

等来表示，手写用为

等

向量可用有向线段来表示，如

、

等，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

，

作为一组基底。对于平面直角坐标系内的一个向量

，由平面向量基本定理可知，平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量来表示，此时有且只有一对实数x，y，使得

，因此平面内的任一向量

都可以由x，yX确定，有序数对(x,y)就是向量

的终点坐标A，向量

的坐标表示则记作

=(x,y)，其中x为

在x轴上的坐标，y是

在y轴上的坐标。

平面直角坐标系

从空间的某个定点O出发引三个成右手系的、两两互相垂直的单位向量

，

分别为x 轴、y 轴、z轴上的单位向量。确定空间直角坐标系O-xyz，可记作 [

] 。设P是空间中任意一点，过P分别作垂直于标轴的平面，与坐标轴分别交于A、B、CX。则上面的三个平面分别平行于相应的坐标平面，而且这些平面围成一个长 方体。如果点A，B，C在各坐标轴上的坐标是a，b，c，即

，abc为点P的x坐标，y坐标，z坐标，记作P（a，b，c）。因此任意给定三个有序实数（a，b，c），在空间就能X确定一个点以这组数为它的坐标，空间中的点和三个有序实数是一一对应的。若

是空间直角坐标系O-xyz中的任意一个向量，则存在X的向径

使得

=

，P点的坐标则称为向量

的坐标，若P的坐标为(x，y，z)，则对应向量

的坐标也可记作（x，y，z）。

空间直角坐标系O-xyz

对于向量

，

，作有向线段

表示

，作有向线段

表示定义

，把

表示的向量

称为

与

的和，记作

，也就是

，求两向量的和的作图方法称为向量的加法，也称为向量加法的三角形法则。

三角形定则

(1) 结合律:

，其中

，

，

是任意向量。

(2) 交换律:

，其中

，

是任意向量。

(3) 对任意向量

，有

+

=

，其中

为零向量。

(4) 对任意向量

，有

+(

) =0，向量

为

的反向量。

两个向量相减所得的结果仍是一个向量，也就是这两个向量的差。求两个向量差的运算就叫做向量的减法。设

，

是两已知的向量，任取一点A，作向量

＝

，再作向量

＝

，以C为起点，以B为终点的向量

＝

称为从向量

减去

的差，记为

-

=

。即

-

＝

，上述求向量差的作图方程称为向量的减法。

向量的减法

(1) 交换律：

-

=-(

-

)

(2) 结合律：(

-

)+

=

-(

-

)

设

为一个数，向量

与

的乘积

规定为：

(1)当

>0时,

表示一个与

同向的向量，其模等于

的模

的

倍,即

=

；

(2)当

<0时,

表示一个与

反向的向量，其模等于

的模

的

倍,即

=

；

(3)当

=0时,

表示零向量，即

=0。

结合律：

（

）=（

）

=

（

）。

分配律：

（1）（2）

数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。已知两个非零向量，向量

和向量

的夹角为

，则

称为向量

与

的数量积。其中，

和

分别为向量

和向量

的模，且

。

(1)交换律：(2)分配律：(3)结合律：

,

向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。已知两个非零向量，设向量

和向量

的夹角为

，则向量

和向量

的向量积为

，

的大小为

，其中，

和

分别为向量

和向量

的模，

为向量

和向量

的夹角。

的方向为垂直于

与

所决定的平面，即

且

，

的指向按右手规则从

转向

来确定。

右手规则

(1)反交换律：

；

(2)分配律：

，

；

(3)结合律：

设

为任意的三个向量，则称

为三向量的混合积，简记为

，即

。

。

向量既有大小也有方向，可用有向线段表示，有向线段是具有方向的线段，它由起点和终点确定。起点为A，终点为B的有向线段用符号

表示。

有向线段

向量

的模即为向量

的大小，也就是向量

的长度，记作

。

向量的夹角就是两个向量所形成的角，指从同一点引出的与向量方向相同的两条射线所形成的角，这个角在0°到180°之间。

设

是

上的线性空间，

是

的任意子集，如果对

的某个有限子集

，存在

中不全为0的实数

使得

，则称

线性相关。如果对

的每个有限子集

，

中满足条件

的数

，只有

=0，则称

线性无关。

向量

乘上实数

的乘积的和

，叫做向量

带有系数

的线性组合。

对空间任意两个向量

，若

，则

的充分必要条件是存在X实数

，使

。

对两个不共线的向量

，则向量

与向量

共面的充分必要条件是：存在X的一对实数x，y，使

。

向量的

和向量

垂直的充要条件是

，即

。

平面向量分解定理：如果

、

是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数

，使

。

空间向量分解定理：如果三个向量

不共面，则对空间任一向量

，存在X的有序实数组x、y、z，使

。

设

、

是平面上的两点，

是线段

上不同于

、

的任意一点。则存在一个任意大于0的实数

，使

，

叫做点

分线段

所成的比值，

点即线段

的定比分点。

若

，

，

，则

，

（

＞0），这个公式就称为定比分点公式。

当

=1时，

是

的中点，中点公式为

，

。

已知

是平面内任意一点，存在实数

，使得

，其中

，则平面上的A、B、CX共线。

在

中，

为

所在平面上的一点，则

则

为

的重心。

在

中，

为

所在平面上的一点，则

为

的垂心。

在

中，

为

所在平面上的一点，则

为

的内心。

在

中，若

，则

为

的外心。

此时

满足

。

常用的向量计算公式见下表：

公式	描述
	向量的模长
	两个向量的点积（内积）
	向量的数量积（标量积）
	两个向量的叉积（外积）
	向量的投影
	向量的夹角
	向量的正弦
	向量的正切

一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做X向量。X向量可以平移至空间任意点，这样一来，若已知向量的大小和方向，则向量就算给出。例如物体运动时的速度和加速度就是X向量，在数学中把X向量，简称为向量。

固定向量是指具有相同大小和方向的向量，但起点是固定的。固定向量可以看作是指向一点的射线，始终从起点出发，不改变方向和大小。

位置向量是指由一个固定点到其他点的向量，是指在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。

单位向量是指模等于1的向量，也就是其长度等于1。若

为任意一个非零向量，则

为单位向量。

长度（向量的模）为0的向量叫做零向量，用

或

表示。零向量的方向是任意的。

如果向量

与向量

的模相等且方向相反，那么我们把向量

叫做向量

的负向量。

平行向量指相互平行的向量，或经过平行移动后能在同一直线上的向量，也称共线向量。

共面向量是一组有特殊位置关系的向量，指在同一平面的向量，或经平行移动后能在同一平面内的向量。

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量

与

相等，记作

=

。

与

长度相等、方向相反的向量叫做

的相反向量，记作

。有-（

）=

零向量的相反向量仍是零向量。

如果表示向量

的有向线段所在直线垂直于平面a，那么向量

叫做平面a的法向量。平面的法向量可确定平面的方

向。

向量空间也称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。设

是一个非空集合，是一个数域，如果满足了以下两个条件，则

称为

上的线性空间，也称为向量空间，

中的元素称为向量，

中的数称为标量，若

是

上的线性空间，可将

记为

(

)。

1.若在

中定义一种加法，使得可以将

中任意两个元素

，

相加，得到X一个

+

，这种加法即为向量的加法。

2.若在

中定义了一个数与元素的一种乘法，使得可以由任意

和任意

相乘得到X一个

。

与

的元素之间的这种乘法也称为向量的数乘。

1.加法交换律：

+

=

+

对任意

，

成立。

2.加法结合律:(

+

)+

=

+(

+

)对任意

，

，

成立。

3.零向量：存在

，使得

+

=

+

=

对任意

成立，

称为零向量，记作

。

4.负向量:对任意

，存在

使

+

=

+

=0，

称为

的负向量，记作 -

。

5.数乘对向量加法的分配律：对任意

，

和

，都有

(

+

)=

+

。

6. 数乘对纯量加法的分配律：对任意

和

，

，都有(

+

)

=

+

。

7. 对任意

和

，

，都有

(

)=（

）

。

8. 对任意

和1

，都有 1

=

。

若

是数域

上的线性空间，则

有以下基本性质：

1.向量空间

的零向量是X的。

2.任一向量的负向量是X的。

3.设

，

，则

=

=0或

=

。

4.对任意

有(-1)

=-

。

向量在数学中有着广泛的应用，可用于解决平面几何，立体几何，解析几何、函数、代数等各种数学问题，还可利用向量来研究空间中的曲面和直线等问题。

向量在解析几何中的应用

向量在物理学中有广泛应用。物理学中的最重要的物理量矢量就是是向量的原型，很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象，向量的运算法则在物理上可以用来更好地解决物理上的问题，向量知识也是解决物理问题的有利工具，物理问题和现象可以转化为与之相关的向量问题。

向量用于表示物理量力

向量在机械设计中有着广泛的应用，比如：针对柔性X漂浮基座空间机械臂系统建模的过程中存在的形式复杂计算量大等问题，通过采用向量对方法，以X漂浮基座双连杆柔性机械臂为研究对象，以单个体的动力学方程为基础，分别用相邻两个体之间的约束方程，利用拉格朗日乘子法组装构成系统的动力学方程，基于向量对方法于柔性空间机械臂控制系统的设计。

向量是计算机图形学和计算机视觉中的重要工具，可以用来表示点、线和面的位置和方向，可用于计算光线追踪、物理模拟、计算机动画和计算机视觉、图形渲染等领域。在三维计算机图形中，物体的位置和方向都可被表示成向量。通过向量的运算，可以实现三维模型的旋转、缩放和平移等操作。

向量在计算机图形学的应用

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[11]杨岚清. 向量的力量[M]. 上海: 上海教育出版社, 2020.06: 4. 978-7-5720-0105-5.

[12]杨岚清. 向量的力量[M]. 上海: 上海教育出版社, 2020.06: 6-7. 978-7-5720-0105-5.

[13]杨岚清. 向量的力量[M]. 上海: 上海教育出版社, 2020.06: 7-8. 978-7-5720-0105-5.

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