序数

序数（ordinalor ordinal number）是集合论的基本概念之一，是日常使用的X、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序概念（如果有序集的任意非空子集都含有最小元素，则称它为良序集）之上的，即被定义为每个在

序数概念是对自然数的推广，每个自然数都是有穷序数。 由于所有自然数的集合

是传递的，并且对于

关系是良序的，因此

是一个序数。

序数在汉语作为数词，表示次序先后。汉语表示序数的方法通常是在数字前加词头“第”，如“第三个”“X”“头一”等。汉语还有一些表示序数的习惯说法，如“初一、初十”（日期），“大女儿、小女儿”（排行）“头班车、末班车”（次序）等。

序数被定义为每个在

关系下的良序。而且，所有序数的收集（我们将要看到的它不是一个集合），其自身在e关系下是良序，并且包含自然数作为一个初始段。最重要的是，序数是良序集的代表：每个良序集（良序集合是在所有非空子集中都有一个最小元素的有序集合）都同构于一个序数。因此，序数可以被看作良序集的序型。

定义1：令

是一个集合，如果

的每个元素都是

的一个子集，则称

是传递的。即一个传递的集合具有性质：

蕴涵

。

定义2：令

是一个集合，如果

满足如下的条件：

• 是传递的。

• 由

  良序。

则称

是一个序数。通常，标准的记法用小写的希腊字母表示，并且术语“序”也经常用于表示“序数”。对于每个自然数

，

如果

，那么

。因此，每个自然数都是一个传递集。并且，每个自然数对于

关系是良序的。

康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879—1884年发表了题为《关于无穷线性点集》的论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，他把所有自然数的最小的超穷数记为

，他认为

还可以无限增加，如

、

直到

等等。在此文中，他还提出了良序定理（每一集合都能被良序）但未给出证明。

康托尔

1923年，冯·诺依曼（von Neumann）在首篇个人论文《超限序数的介绍》中定义了序数。同时他还用序数严格地定义了基数的概念。1925年，冯·诺依曼对序数的定义被数学界普遍采用。

冯·诺依曼

设

是一个与序数

有关的命题，假如：

（1）

是真的。

（2）

，对于

是真的话，能导出

也是真的，那么

对于一切序数

都是真的。

定义：

，称为

的后继。如果

，就称

为后继序数；否则

为极限序数。

在数组（由一组经索引的同一类型元素组成）中，每个索引类型都为序数类型，同时，索引类型通常为整数的子界。

设

为任意给定的序数，依据下列方法可以把序数分类：具有相同基数的序数归入同类。这样X数类或X级数类是所有有穷序数的类，这类就是集合

。第二数类或第二级数类是指可数序数的类

：

是一个集合，并且是一个非可数的无穷集合。

1. 如果

   是序数，则

   的所有元素是序数，所以

   。

证明：首先，如果

，则

是传递集。这是因为

传递的，所以

。如果

，则

，因此

。于是

都是

的元素，而

是α线序，故由传递性，

，因此

是传递集。其次，

是

的子集，所以

限制到

是

上的良序。

2.如果

是序数，且

是传递集，则

是序数，且

。特别地，对任意序数

，如果

，则

。

证明：由于

是传递集，并且是良序集

的子集，因此

是其上的良序，所以

是序数。同样根据

的传递性，如果

，

，则

，因此

是

的真前段。这样，存在

，

，而这就是说

。

定理1：每个自然数都是一个序数。

容易看出，所有自然数的集合

是传递的，并且对于

关系是良序的。因此，

是一个序数。

定理2：令

和

为序数。

（1）对任意非空的序数集合

，

是序数，并且

；

（2）对任意序数的集合

，

是序数，并且

；

（3）序数间的＜关系具有良序性质，因此任意非空的序数集合都在

下是良序集。

• 传递性：如果

  ，则

  ；

• 反对称性：

  与

  不能同时成立；

• 线性：

  与

  必有一个成立；

• 良基性：每一个序数的非空集合有

  最小元；因此

  是每一序数的集合上的良序。

定理4：自然数恰好就是有穷序数。

定理5：每一良序集同构于X的一个序数。

定理6：假设（

）是良序集，则它的序型就是与其同构的X的序数，记作

，或

。

令

和

是任意序数，则：

• 。

• 。

• 对任意极限序数

  成立。

证明：头两个性质显然为真。只需证明第三个性质。如果

，则

；因此，

的集的上界（对所有

）。必须证明

是最小上界。令

是一个序数，接下来验证对某个

，有

。如果

，显然为真。如果

，则对某个

有

，且

，因而

，既然

是极限序数，故

小于

，这样可取

。

令

和

是任意序数，则：

• 。

• 。

• ，对任意极限序数

  成立。

证明：这个证明与加法相似。必须证明，如果对一个极限序数

有

，则

必对某个

成立。即对某个

有

就取

。

令

和

是任意序数，则：

• 。

• 。

• ，对任意极限序数

  成立。

定理1：（基于超限递归）保证了这些等式X地定义了一个序数运算，它被称为取幂。

定理2：规则在集

上定义了一个良序，它的序型是

。

定理3：对于任意的可数序数

，序数

，

也是可数的。

定理4：小于

的任何序数都能表示为

其中

，而

，这个表达式是X的，任何这种形式的和表示了一个小于

的序数。

基数是届数（序数是届数，第1，第2，第3，… ，第n，都是届数）中原子数个数的统计。届数中的单位元，不论是加 法单位元还是乘法单位元，都是不可统计的。但是约定：逻辑加法单位元是最小的基数，逻辑乘法单位元是最大的基数。

设

是非空集合

上的关系，如果

是自反、反对称和传递的，则称

为

上的偏序关系，记作

。如果集合

上有偏序关系

，则称

为偏序集，用序偶（

）表示。若

，常记作

，读作“

小于或等于

”。这里的“小于或等于”不是指元素数值的大小，而是指在偏序关系中的顺序性。“

小于或等于

”的含义是：按照这个排序，

在

的前边或

和

相等”。

设

是偏序集，若对

，

，要么

，要么

成立，即

中任何两个元素都是可以比较的，则称此偏序关系为全序关系或线序关系，此时

为全序集或线序集。

良序集是良基线性次序集。对于线性次序，极小和最小概念是相同的，所以在良序集中每个非空子集都有最小元素。良序集的例：

（

表示

个元素的有限线性次序集），

(有如前定义的线性次序）。

在数论中常利用序数算术证明某些定理，比如用超穷序数的理论证明“九头博弈”中的“古德斯坦定理”。

古德斯坦定理：对任意

，存在

使得

。

证明：令

为自然数，考虑序列

。如果

，则根据定义，有

由引理“

是增函数，即

”可得

而由引理“对任意自然数

”可得

因此

由于不存在序数的无穷下降链，故对于足够大的自然数

，可得到

。

序数在环境评价预测污染物日平均质量浓度时有一定作用。对于保证率日平均质量浓度，首先按环境影响叠加方法计算叠加后预测点上的日平均质量浓度，然后对该预测点所有日平均质量浓度从小到大进行排序，根据各污染物日平均质量浓度的保证率（p）计算排在p百分位数的第m个序数，序数m对应的日平均质量浓度即为保证率日平均浓度C_m。

元素周期表中存在各种各样的序数，比如原子序数、周期序数、主族序数等。按照核电荷数递增的顺序给元素编的序号叫做原子序数；周期的序数（元素周期表X有七个横行，也就是七个周期。依次用1、2…7等数字表示）与本周期元素原子的电子层数相等；主族用族序数后面加字母A 表示，如1A 、IA 、ⅡA …，主族的序数和本族元素原子的最外层电子数目相等。

球状元素周期表

电力系统在变电、配电的过程会涉及到变压器的并联运行，要求连接组别要相同。三相变压器的连接组别有很多种，其中用时钟序数法分类判断各连接组别，适用性很强。在表达变压器连接组别的时候，除了用字母Y或D表达高压绕组和用字母Y或d表达低压绕组是星形还是三角形（以逆序三角形的连接方式为正）的连接方式外，还要用数字表达高、低压侧对应线电压（或线电动势）的相位关系。例如连接组标号为Yd3的变压器，高压侧是星形连接Y，低压侧是三角形连接d，低压侧线电动势E_ab滞后高压侧电动势易E_AB3×30°。数字3是采用时钟序数法进行判定的，将高压侧线电动势相量毋。看成时钟的长针，并固定指向时钟的12点，将低压侧线电动势相量如看成时钟的短针，短针所指的时数3就是变压器组别的标号中的数字。

变压器并联

在经济学中，序数效用论采用无差异曲线的分析方法来考察消费者行为，提出消费者均衡的实现条件。序数效用论认为，商品给消费者带来的效用大小应用顺序或等级来表示。序数效用论者提出了消费者偏好的概念。消费者偏好是指消费者对不同商品或商品组合的喜好程度。消费者对不同商品组合的偏好，也就是喜好的程度是有差异的，正是这种偏好程度的差 别，反映了消费者对这些不同商品组合的效用水平的评价。例如，对于A 、B两种商品组合，若消费者对A组合的偏好程度大于对B组合的偏好程度，则可以说A组合的效用水平大于B组合。若消费者对A组合与B组合的偏好程度相同，则可以说两种组合的效用水平无差异。

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