布尔逻辑（Boolean algebra，译布林運算，中国译布尔逻辑）得名于乔治·布尔，他是爱尔兰科克的皇后学院的英国数学家，他在十九世纪中叶首次定义了逻辑的代数系统。现在，布尔逻辑在电子学、计算机硬件和软件中有很多应用。在1937年，克劳德·艾尔伍德·香农展示了布尔逻辑如X电子学中使用。

使用集合代数作为介绍布尔逻辑的一种方式。还使用文氏图来展示各种布尔逻辑陈述所描述的集合联系。

设X是一个集合：

元素是一个集合的成员。表示为 ∈ {displaystyle in }
。如果它不是这个集合的元素，表示为 ∉ {displaystyle notin }
。 X是集合X，有时表示为1。注意使用X这个词意味着“虑及的所有元素”，不必然的同“现有的所有元素”一样。 空集或null集合是没有元素的集合，表示为 ∅ {displaystyle varnothing }
，有时表示为0。 一元算符应用于一个单一的集合。有一个一元算符叫做逻辑非（NOT）。它的作用是采用补集。 二元算符应用于两个集合。基本的二元算符是逻辑或（OR）和逻辑与（AND）。它们进行集合的并集和交集。还有其他衍生的二元算符，比如逻辑异或（XOR，排他的或）。 子集表示为A ⊆ {displaystyle subseteq }
B，意味这在集合A中所有元素都在集合B中。 真子集表示为A ⊂ {displaystyle subset }
B，意味着在集合A中的所有元素都在集合B中，并且两个集合不等同。 超集表示为A ⊇ {displaystyle supseteq }
B，意味着在集合B中的所有元素都在集合A中。 真超集表示为A ⊃ {displaystyle supset }
B，意味着在集合B中的所有元素都在集合A中，并且两个集合不等同。 例子

设图像为集合A包含X中所有偶数（二的倍数），集合B包含X中所有三的倍数。则两个集合的交集（在集合A AND B中所有的元素）将是X中所有六的倍数。

集合A的补集（所有不在集合A中的元素）是X中所有的奇数。

尽管在任何布尔运算中都最多有两个集合参与，从这个运算所形成的新集合可以接着与其他集合X实现另外的布尔运算。使用前面的例子，我们可以定义一个新集合C作为X中所有五的倍数的集合。所以集合A AND B AND C将是X中所有30的倍数。如果为了更方便，我们可以把集合AB当作集合A和B的交集，或者说X中所有六的倍数的集合。那么我们可以称集合AB AND C是X中所有30的倍数的集合。我们接着进一步的把这个结果叫做集合ABC。

尽管任何数目的逻辑AND（或任何数目的逻辑OR）可以被连接在一起而没有歧义，AND和OR和NOT的组合可以导致歧义的情况。在这种情况情况下，可以使用圆括号来分清运算的次序。永远是最内的括号内的运算先进行，随后是外层的括号以此类推，直到在所有的括号内运算都完成。接着进行括号外的运算。

为两个主要的二元运算的符号定义为 ∧ / ∩ {displaystyle land /cap }
(逻辑与/交集）和 ∨ / ∪ {displaystyle lor /cup }
(逻辑或/并集），把单一的一元运算的符号定义为 ¬ {displaystyle lnot }
/ ~(逻辑非/补集）。我们还使用值0（逻辑假/空集）和1（逻辑真/X）。下列性质适用于布尔代数和布尔逻辑二者：

a ∨ ( b ∨ c ) = ( a ∨ b ) ∨ c {displaystyle alor (blor c)=(alor b)lor c}
a ∧ ( b ∧ c ) = ( a ∧ b ) ∧ c {displaystyle aland (bland c)=(aland b)land c}
结合律 a ∨ b = b ∨ a {displaystyle alor b=blor a}
a ∧ b = b ∧ a {displaystyle aland b=bland a}
交换律 a ∨ ( a ∧ b ) = a {displaystyle alor (aland b)=a}
a ∧ ( a ∨ b ) = a {displaystyle aland (alor b)=a}
吸收律 a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) {displaystyle alor (bland c)=(alor b)land (alor c)}
a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) {displaystyle aland (blor c)=(aland b)lor (aland c)}
分配律 a ∨ ¬ a = 1 {displaystyle alor lnot a=1}
a ∧ ¬ a = 0 {displaystyle aland lnot a=0}
互补律 a ∨ a = a {displaystyle alor a=a}
a ∧ a = a {displaystyle aland a=a}
幂等律 a ∨ 0 = a {displaystyle alor 0=a}
a ∧ 1 = a {displaystyle aland 1=a}
有界律 a ∨ 1 = 1 {displaystyle alor 1=1}
a ∧ 0 = 0 {displaystyle aland 0=0}
¬ 0 = 1 {displaystyle lnot 0=1}
¬ 1 = 0 {displaystyle lnot 1=0}
0和1是互补的 ¬ ( a ∨ b ) = ¬ a ∧ ¬ b {displaystyle lnot (alor b)=lnot aland lnot b}
¬ ( a ∧ b ) = ¬ a ∨ ¬ b {displaystyle lnot (aland b)=lnot alor lnot b}
德·摩根定律 ¬ ¬ a = a {displaystyle lnot lnot a=a}
对合律 真值表

布尔逻辑只使用两个值0和1，这两个值的交集和并集可以使用真值表定义如下：

∩ {displaystyle cap }
0 1 0 0 0 1 0 1 ∪ {displaystyle cup }
0 1 0 0 1 1 1 1 也可以建立涉及多个输入和其他布尔运算的更复杂的真值表。 真值表应用在逻辑中，解释0为假，1为真， ∩ {displaystyle cap }
为与， ∪ {displaystyle cup }
为或，而¬为非。 其他记号

可以使用各种样式的基本算符来表达布尔逻辑。AND（与）、OR（或）、NOT（非）是最直觉的。数学家、工程师和程序员经常使用 +表示或， ⋅ {displaystyle cdot }
表示与（因为在某些方面这些运算类似于在其他代数结构中的加法和乘法，并且这种记号使熟悉普通代数的人易于得到积之和范式）。非也表示为在要否定的表达式顶上的一个横线。

另一种记号使用交表示与使用并表示或。但是这会导致混淆，因为术语并也经常用于合并集合的另一个布尔运算，它包括了与和或二者。

布尔术语的基本数学使用
在联立方程的情况下，被联立的方程暗含逻辑与： x + y = 2 AND x – y = 2

同样适用于联立不等式：

x + y < 2 AND x – y < 2 大于等于号（ ≥ {displaystyle geq }
）和小于等于号（ ≤ {displaystyle leq }
），可以认为是暗含逻辑或的一对等式与不等式的联立： X < 2 OR X = 2 加/减号（ ± {displaystyle pm }
），在表示“平方根的解”情况下，可以被看作暗含逻辑或的一对联立等式： WIDTH = 3 OR WIDTH = -3 布尔术语的英语使用

在把英语句子转换成形式的布尔语句的时候要小心。很多英语词语不精确的意义可能导致多种逻辑结果，例如英语单词NOT（非）：“所有闪光的东西不是金子。”可以解析为以下不同的逻辑表达：

“没有闪光的东西是金子” “有些闪光的东西不是金子”

作为英语单词的AND（与）和OR（或）在特定情况下是可以互换使用的：

在下雨与下雪的时候我总是带伞。 在下雨或下雪的时候我总是带伞。

还要注意在英语中单词OR（或）可以分别对应于逻辑表达中的或（OR）（此亦彼亦）和异或（XOR）（此即彼非），具体意思要依赖于上下文进行判断：

我在X或高温的时候出汗。（此亦彼亦，判定为逻辑或） 我午饭打算吃鸡肉或牛肉。（此即彼非，判定为逻辑异或）

在规定计算机程序或者电子电路时，如何使用英语准确描述其功能逻辑是个关键问题。例如，对于功能“程序应校验申请者已经选择取了男性或女性单选框”，应当被当作一个异或（非此即彼）逻辑（即“程序应校验申请者已经选择取了男性或女性选项，并且此二选项互相排他”），则程序语句须特别限定“二者之间只有一个能被选择”来确保校验功能的实现；假如将其混为或逻辑（此亦彼亦），则该校验功能有可能被错误地实现，造成申请者同时选择两个选项、而校验依然通过。

在其他非技术语言的情况下，对于一段英语文字的解释可能包含更多的不确定性，可能需要深入探讨、以确保明晰该段文字背后所含的逻辑意义的多种可能性。

数字电子电路设计

布尔逻辑还在电子工程中的电路设计中使用；这里的0和1表示在数字电路中某一个位的不同状态，典型的是高和低电压。使用包含变量的表达式描述电路，并且对于这些变量的所有的值两个这种表达式是等价的，当且仅当对应的电路有相同的输入-输入行为。进一步的说，每种可能的输入-输出行为都被建模为适合的布尔表达式。

基本的逻辑闸比如与闸、或门、非闸可以单独使用，或者联合成与非闸、或非闸和异或门来控制数字电子和电路。这些闸的串联或并联控制了运算的优先级。

关系数据库使用SQL语言，或者其他特定于数据库的语言，来进行查询，它可以包含布尔逻辑。对于这种应用，在表中每个记录都可以被当作集合的元素。例如，在SQL中，下列SELECT语句被用来从在数据库中的表格中检索数据：

SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = Smith AND FIRST_NAME = John; SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = Smith OR FIRST_NAME = John; SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE NOT LAST_NAME = Smith;

在有多个运算出现的时候，可以使用圆括号来明确的指定布尔运算发生的次序：

SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE（NOT LAST_NAME = Smith）AND（FIRST_NAME = John OR FIRST_NAME = Mary）;

在需要的时候可以使用嵌套的圆括号。

联合两个（或更多）表格的任何布尔运算在关系数据库术语中都被称为连接。

对于这种应用，在互联网上的每个web页面都被当作是集合的元素。各种在线搜索引擎使用各自不同的语法。下面描述Gооgle使用的语法。

逻辑与不使用符号。所以，它是连接两个搜索项的缺省方式： 搜索项1 搜索项2 使用关键字OR表示逻辑或： 搜索项1 OR 搜索项2 使用减号表示逻辑非： -搜索项1 不支持使用圆括号来明确指定运算的次序。